Разложение стозначных чисел

Работая с сетью, объединяющей более 400 компьютеров в США, Голландии и Австралии, группа ученых побила все предыдущие рекорды, найдя два больших простых множителя для стозначного числа. Это достижение, результат самого крупномасштабного на сегодняшний день вычисления, выполняемого с помощью параллельно работающих компьютеров, начинает угрожать сохранению секретности некоторых шифров, применяемых правительственными, банковскими и промышленными учреждениями.


Чтобы разложить стозначное число, организаторы этого коллективного вычисления М. Манассе из фирмы Digital Equipment Corporation в Пало-Альто и А. Ленстра из Чикагского университета решили применить метод, изобретенный Карлом Померансом из Университета шт. Джорджия. Этот метод разложения на множители, известный под названием квадратичного решета, основан на отыскании двух чисел, которые, будучи возведенными в квадрат и поделенными на исходное (раскладываемое) число, дают один и тот же остаток. Например, чтобы, следуя этому методу, найти множители числа 15, мы находим, что числа 8 и 2, возведенные в квадрат и поделеннные на 15, оба дают в остатке 4. После того как были найдены такие числа, нетрудно вычислить искомые множители. В данном случае из 8 следует вычесть 2, в результате получим 6. Затем 6 вычитается из 15 столько раз, сколько это возможно, так чтобы разность не получилась отрицательной. Окончательный результат 3, а это действительно один из главных простых множителей числа 15. Хотя для разложения маленьких чисел метод квадратичного решета выглядит неуклюжим и медленным, для больших чисел — это самый быстрый из известных на сегодняшний день методов.


Другое преимущество метода квадратичного решета заключается в том, что задачу отыскания множителей можно распределить между многими одновременно работающими компьютерами. Так, основная координационная часть работы по разложению стозначного числа производилась компьютером на фирме DEC, а остальные вычисления были распределены между вычислительными центрами США, Голландии и Австралии. На 26-й день работы Манассе и Ланстра накопили достаточно данных, чтобы разложить стозначное число, равное 11^104 + 1, поделенное на 11^8 + 1, на простые множители длиной в 41 и 60 знаков.


При наличии алгоритмов разложения на множители столь больших чисел появляется возможность расшифровки некоторых кодов широко распространенной криптографической системы, созданной Р. Ривестом, А. Шамиром и Л. Эдельманом из Массачусетского технологического института. Система Ривеста, Шамира и Эдельмана (RSA) основана на том факте, что, хотя большие простые числа вычисляются сравнительно легко, задача разложения на множители произведения двух таких чисел является исключительно трудоемкой и считалась практически неразрешимой. Каждый пользователь системы RSA выбирает два больших простых числа и передает их произведение. Сообщение преобразуется в числовую цепочку каким-нибудь обычным методом, а затем кодируется посредством математической операции с использованием переданного числа. Сообщение можно декодировать только посредством другой математической операции с использованием исходных простых чисел. Однако если найти множители переданного числа, то сообщение может быть декодировано посторонними людьми. Чтобы система оставалась надежной, пользователи должны выбирать достаточно большие простые числа, такие, чтобы их произведение практически было невозможно разложить.


После удачной попытки, предпринятой Манассе и Ленстрой, многие организации, возможно, вынуждены будут пересмотреть степень надежности своих шифров и пользоваться впредь еще большими числами. По оценке Ривеста, сделанной им в 1977 г., код с использованием числа длиной 125 разрядов и состоящего из двух простых чисел по 63 разряда каждое, можно было считать вполне надежным. Время, требовавшееся самому быстродействующему компьютеру тех лет разложения 125-разрядного числа, составляло 40 квадриллионов лет. Системе же, подобной той, которой воспользовались Манассе и Ленстра, для расшифровки такого кода, по их словам, хватило бы и одного года. Получай большие бонусы и выигрывай уже сейчас по ссылке .